永无止境的数学分类

本周，数学特约撰稿人Joseph Howlett解释了数学家为何喜欢对事物进行分类。

图源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-3-17

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-3-18

18世纪的生物学都是关于分类学（taxonomy）的。生命惊人的多样性使得人们很难得出生命如何起源的结论。科学家首先必须将事物按正确的顺序排列，根据共同的特征对物种进行分组——这并非易事 / 。

从那时起，他们就利用这些庞大的目录来了解生物之间的差异并推断它们的进化历史。化学家们出于同样的目的建立了元素周期表——对元素进行分类并了解它们的行为。物理学家们建立了标准模型 / 来解释宇宙的基本粒子是如何相互作用的。

哲学家米歇尔·福柯（Michel Foucault，1926 - 1984）在其著作《词与物——人类科学的考古学》（英文版为The Order of Things：事物的秩序）中将这种对分类的关注描述为科学的形成步骤。他写道：“只有通过对所有可能差异进行连续、有序和普遍的汇总，才能获得对经验个体的认识。”

数学家们从未摆脱过这种痴迷 维宇宙中，都需要考虑。

有无数种不同的分类可以尝试——群（group）、结（knot）、流形（manifold）等等——而且每个分类中都有无数个对象需要分类。分类是数学家们了解他们正在研究的奇怪、抽象世界的方式，也是他们证明有关它的主要定理的方式。

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以数学研究的核心对象“群”为例。“有限单群”（finite simple groups）——所有群的构造积木——的分类是20世纪最伟大的数学成就之一。数十位数学家花了近100年的时间才完成这项工作。最后，他们发现，除了26 个逐项列出的异常值外，所有有限单群都属于三类 / 。

自1994年以来，一群敬业的数学家一直在研究该分类的“浓缩”证明——目前它包含10卷和数千页，但仍未完成。但这项艰巨的任务不断取得成果，最近帮助证明了一个几十年前的猜想 / ，即通过检查群的一小部分，你可以推断出很多关于群的信息。

数学不受现实的典型约束，它研究的是可能性。分类为数学家提供了一种探索无限潜力的方法。

最新动态和值得关注的内容

我们在小学学习的第一个数学分类涉及对数字进行分类——分为正数和负数，或者可以写成分数的数字（有理数）和不能写成分数的数字（无理数）。

在最近的量子杂志专题中，Erica Klarreich描述了如何证明给定数字是无理数，即使数学家怀疑它是无理数，也是非常困难的 / 。

而且数学家们也喜欢研究许多其他类型的数字（p进数） / 。

在其他领域，数学家根据事物在某种意义上是否“等价”对它们进行分类。在拓扑学中，如果一种形状可以被拉伸或挤压成另一种形状而不会破裂或撕裂，则两种形状相同，因此属于同一类。甜甜圈和咖啡杯相同，但与球体不同。

但判断更复杂（和高维）的物体是否相同可能非常困难。例如，数学家们仍在试图弄清楚某些维度上的所有形状是否都必须等同于球面，或者是否允许更奇特的形式。

Kevin Hartnett在这篇拓扑学概述 / 中写道，“经过几个世纪的共同努力，数学家们甚至还未接近完成。”

同样，分类在结理论中也发挥着重要作用。在一根绳子上打个结，然后将绳子的两端粘在一起——这就是一个数学结。如果一个结可以在不剪断绳子的情况下缠结或解开，以匹配另一个结，则这两个结是等价的。

这个听起来很平凡的任务有很多数学用途 量子杂志。

2023年，五位数学家在结理论的一个关键猜想上取得了进展 / 。该猜想指出，所有具有某种性质（“切片”）的结也必须具有另一种性质（“丝带”），证明排除了一个可疑的反例。（顺便说一句，我经常想搞明白为什么结理论学家坚持使用名词作为形容词。）

分类也可以变得更加抽象。理论计算机科学家和数学家都根据分类问题的“难度” / 。

所有这些分类将数学中混乱的无限性变成了可访问的秩序。这是控制数学想象洪流的第一步。

网络上

伦敦玛丽女王大学有一个在线数据库 ，包含小魔群的一个类别，答案太简单了。）

我可以花一整天时间盯着绳结看，试图判断它们是否相同。澳大利亚国立大学的金·莫里森（Kim Morrison）和多伦多大学的德罗·巴尔纳坦 （Dror Bar-Natan）制作的绳结图册 很好地汇集了绳结（以及它们在历史和文化中的出现方式）。

还可以看看这个绳结动物园 方式查看它。

数学家们总是忍不住要对整个数学领域进行分类和重新分类。美国数学会最近一次是在2020年 / 。

或者你可以看看量子杂志更直观的数学地图 。

参考资料

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小乐数学科普：为什么数学家研究纽结？——译自Quanta Magazine量子杂志

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